Complexity of calculation of element systems of finite Abelian groups

Abstract

Исследуется сложность реализации систем элементов конечных абелевых групп. Под сложностью реализации системы элементов над заданным базисом понимается минимальное число применений групповых операций для вычисления элементов системы по базисным элементам, при этом допускается многократное использование результатов промежуточных вычислений. Для функции Шеннона $L(n,m)$, характеризующей максимальную сложность системы из $m$ элементов, где максимум берется по всем абелевым группам порядка не более $n$, по всем их базисам и по всем реализуемым системам, установлено, что в случае выполнения условия $m = o(\log \log n)$ при $n \to \infty$ справедливо асимптотичское равенство $L(n,m) \sim \log_2 n$. Кроме того, при тех же условиях установлена асимптотика максимально возможного отличия сложности вычисления системы элементов конечной абелевой группы и сложности реализации системы одночленов, соответствующих представлениям этих элементов через базисные элементы.