Generazione e visualizzazione delle forme nello spazio: proprietà topologiche e percezione di superfici geometriche

Abstract

Dans cet article, nous étudions quelques aspects de la visualisation topologique en tant que méthode pour appréhender des propriétés mathématiques et phénoménologiques de l’espace ambiant, dans lequel se constituent nos perceptions et se construit notre rapport au monde. Nous montrons que des opérations apparemment « élémentaires » comme couper et coller peuvent être composées de sorte à donner lieu à des constructions plus complexes, telles que somme connexe et surface à bord, faisant apparaître de nouvelles propriétés. Celles-ci sont de deux types : objectal et holiste ; alors que les premières sont relatives à la structure in se d’un objet géométrique (surface, variété), les secondes concernent surtout les relations entre ce même objet et l’espace dans lequel il est plongé ou immergé. Le premier type de propriétés est mis en évidence par la classe des déformations (ou transformations) appelée homéomorphismes, tandis que le second type de propriétés apparaît clairement grâce à la classe des isotopies. Le point essentiel est que topologiquement deux objets peuvent avoir la même « forme » même si leurs images graphiques nous apparaissent très différentes. Ce qui montre que l’équivalence des formes a un sens topologique beaucoup plus important que l’équivalence entre images. En effet, deux objets peuvent nous apparaître très différents quant à leur présentation graphique et pourtant appartenir à la même famille de formes. Prenons le cas de deux objets dont l’un est noué et l’autre ne l’est pas, alors qu’ils ont une apparence très similaire. Le fait d’être noué ou dénoué est ainsi une propriété de nature topologique qui concerne moins les objets in se, que l’espace tridimensionnel dans lequel ils sont plongés. Étudier les objets et leurs environnements spatiaux revient à essayer de comprendre les dynamiques de transformation et l’émergence de nouvelles propriétés et qualités de ces mêmes objets.