1. (1) Für die Bewertungstheorie im allgemeinen siehe ferner: A. Ostrowski, Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper, Math. Zeits. 39, 1935.
2. (2) M. Moriya, Bewertungstheoretischer Aufbau der multiplikativen Idealtheorie, Journ. Fac. Sci. Hokkaido Imp. Univ. Ser. 1, vol. 3, 1939. Moriya stellt als Axiomensystem für die Dedekind-Noethersche Idealtheorie folgendes auf: I, II, III (s. §1) und MIV. Zu zwei beliebigen verschiedenen Bewertungen w, w′ aus W gibt es zwei Elemente c, c′ in D, für welche w(c)>0, w′(c)=0, und w(c′)=0, w′(c′)>0 gelten. MV. Es gibt nur einziges nullwertiges Ideal. Dabei versteht man unter einem nullwertigen Ideal ein solches, dass der kleinste unter den Werten von dessen Elementen für jede Bewertung aus W Null ist. Dort ist noch die Idealtheorie auch von dem allgemeineren Standpunkt auf Grund von I, II, III und MIV diskuriert.
3. (3) Dies ist berichtet in der Arbeit: K. Asano und T. Nakayama, A remark on the arithmetic in a subfield, Proc. Imp. Acad. Tokyo 1940. Dort ist die Bedingung III versehentlich ausgelassen, wie mir Herr Nakayama freundlich mitgeteilt hat.
4. (4) M. Moriya und Y. Kobayasi, Eine notwendige Bedingung für die eindeutige Primfaktorzerlegung der Ideale in einem kommutativen Ring, Proc. Imp. Acad. Tokyo 1941.
5. (5) Vgl. v. d. Waerden, Moderne Algebra II.