1. (1) On suppose la continuité de fi dans le voisinage de O.
2. (2) Birkhoff: Invariant points in function space (Transactions of the Ameriean Mathematical Society, 1922).
3. (3) Je désignerai, dans cette section, par (S) un domaine onvert, par S sa frontière et par [S] le domaine fermé: (S)+S.
4. (4) Un triangle sphérique dont les sommets sont Pi1(Xi1, Yi1, Zi1), Pi2(Xi2, Yi2, Zi2), Pi3(Xi3, Yi3 Zi3) est un ensemble de points P(X, P, Z) tels que l'on ait X2+Y2+Z2=1, Δ(O; Pi1, Pi2, Pi3)Δ(O; P, Pi2, Pi3)≥0, Δ(O; Pi1, Pi2, Pi3)Δ(O; Pi1, P, Pi3)≥0, Δ(O; Pi1, Pi2, Pi3)Δ(O; Pi1, Pi2, P)≥0, en posant, si Xi, Yi, Zi sont les coordonnées de Pi(i=0, 1, 2, 3), Δ(P0; P1, P2, P3)=1111 X0X1X2X3 Y0Y1Y2Y3 Z0Z1Z2Z3. Suppesons que la surface S ait été décomposée en n triangles sphériques Ai. J'entend par là que si P est un point quelconque de S ne satisfaisant à aucune des égalités Δ(O; P, Pi2, Pi3)=0, Δ(O; Pi1, P, Pi3)=0, Δ(O; Pi1, Pi2, P)=0, il existe un triangle Ai et un seul qui contient le point P à son intérieur. Alors, on peut vérifier sans peine que si un point P distinct des points Pik est un point frontière d'un triangle Ai′, il existe un autre triangle Ai″ sur la frontière duquel se trouve le point P. II est évident que tout le triangle Ai distinct des triangles Ai′, Ai″ laisse le point P à son extérieur.
5. (5) On pose q′=qo, q″=qm.