Ueber eine abgeschwaechte Fassung des Auswahlaxioms

Abstract

Einleitung. Das “Auswahlaxiom” oder “multiplicative axiom” fordert in der gewöhnlichen, von B. Russell und Zermelo angegebenen Fassung, daß zu jeder Menge M, deren Elemente paarweise fremde und nicht-leere Mengen sind, mindestens eine “Auswahlmenge” existiere, die mit jedem Element von M genau éin Element gemeinsam hat. Die nächstliegende und mehrfach verwendete Methode, um ein schwächeres Postulat als die vorstehende Fassung zu formulieren, besteht darin, daß man entweder über die Mächtigkeit der Menge M, oder über die Mächtigkeiten ihrer Elemente, oder über beides gleichzeitig, einschränkende Bedingungen macht, also nur in diesen eingeschränkten Fällen die Existenz einer Auswahlmenge verlangt. Hinsichtlich der Mächtigkeit von M ist da sogleich die Bemerkung zu machen, daß sie jedenfalls transfinit (genauer: nicht endlich im induktiven Sinn) anzusetzen ist. Vermöge allgemeiner logischer Sachverhalte und des (eventuell zu beweisenden) Prinzips, das zu einem gegebenen Objekt a die Bildung der Menge {a} erlaubt, ist nämlich die Existenz einer Auswahlmenge von M beweisbar, falls M die Mächtigkeit 1 besitzt, und diese Beweisbarkeit überträgt sich mittels gewöhnlicher Induktion auf den Fall einer beliebigen endlichen Mächtigkeit. Dagegen ist die Existenz einer Auswahlmenge nicht mehr beweisbar, wenn (bei transfinitem M) die Elemente von M endliche Mengen mit Mächtigkeiten > 1 sind, z. B. also schon in dem Fall, wo M eine transfinite Menge von Paaren ist—natürlich “im allgemeinen,” d. h. wenn die Elemente von M nicht eine besondere Beschaffenheit haben, die die Auszeichnung gewisser Elemente in ihnen ermöglicht. Die Tatsache dieser Nichtbeweisbarkeit, d. h. der Unabhängigkeit des Auswahlaxioms sogar in diesem einfachsten Fall, ist vor längerer Zeit auf der Basis des Zermeloschen Axiomensystems der Mengenlehre nachgewiesen worden.