Sur les sous-groupes algebriques primitifs du groupe de cremona a trois variables

Abstract

Au 19e siècle le terme de géométrie algébrique désignait exclusivement la géométrie birationnelle. Aujourd’hui on n’accepterait pas cette définition, parce que l’objet de la géométrie algébrique est celui des invariants biréguliers plutôt que birationnels. Quelle que soit la définition adoptée, il est intéressant de connaître la structure de groupes des automorphismes birationnels. Mais celle-ci est très peu connue (Mumford [10]). La question suivante a été posée depuis longtemps; déterminer à conjugaison près tous les sous-groupes algébriques connexes et maximaux du groupe de Cremona Crn. Le groupe Crn est, par définition, le groupe des automorphismes du corps des fonctions rationnelles à n indéterminées. Si n = 1. Cr1 coïncide avec le groupe des automorphismes de P1 Enriques a résolu ce problème pour n = 2 (Enriques [5]). On croit généralement (par exemple Godeaux [8]) que Enriques et Fano l’ont fait pour n = 3 (Enriques et Fano [6]). Après avoir collaboré avec Enriques, G. Fano a travaillé seul sur ce problème et il a laissé des résultats très intéressants dont la plupart des démonstrations ne semble pas rigoureuse. Demazure [4] a étudie les; sous-groupes algébriques de rang maximum n de Crn. Il a démontré qu’il y a une correspondence bijective entre les sous-groupes algébriques de rang maximum n de Crn et les systèmes d’Enriques. Puisque les derniers sont de nature combinatoire, c’est un dictionaire géométrique-combinatoire.