Invariance de laK-Théorie par équivalences dérivées

Abstract

RésuméCes notes ont pour but de démontrer que tout foncteur exact à droite entre catégories de Waldhausen raisonnables, induisant une équivalence au niveau des catégories homotopiques, définit une équivalence d'homotopie entre les spectres deK-théorie correspondants. Cela généralise un résultat bien connu de Thomason et Trobaugh. Les ingrédients de démonstration sont une généralisation du théorème d'approximation de Waldhausen et une caractérisation combinatoire simple des équivalences dérivées. On étudie par ailleurs la localisation simpliciale des catégories de Waldhausen. On démontre qu'un foncteur (homotopiquement) exact à droite induit une équivalence de catégories homotopiques si et seulement s'il induit une équivalence au niveau des localisations simpliciales. Cela permet de faire le lien avec laK-théorie des catégories simpliciales introduite par Toën et Vezzosi.