Sur la conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

Abstract

RésuméNous démontrons, sous la forme forte conjecturée par Peyre, la conjecture de Manin pour les surfaces de Châtelet dont les équations sont du type ${y}^{2} + {z}^{2} = P(x, 1)$, où $P$ est une forme binaire quartique à coefficients entiers irréductible sur $ \mathbb{Q} [i] $ ou produit de deux formes quadratiques à coefficients entiers irréductibles sur $ \mathbb{Q} [i] $. De plus, nous fournissons une estimation explicite du terme d’erreur de la formule asymptotique sous-jacente. Cela finalise essentiellement la validation de la conjecture de Manin pour l’ensemble des surfaces de Châtelet. La preuve s’appuie sur deux méthodes nouvelles, concernant, du part, les estimations en moyenne d’oscillations locales de caractères sur les diviseurs, et, d’autre part, les majorations de certaines fonctions arithmétiques de formes binaires.