Espaces vectoriels C-minimaux

Abstract

Dans [2], Salma et Franz Viktor Kuhlmann définissent plu-sieurs notions d'espace vectoriel valué et démontrent un principe d'Ax-Kochen pour celles de ces structures dans lesquelles la multiplication par un scalaire du corps préserve la valuation. Nous travaillons ici avec des conditions plus faibles. On va définir en premier lieu la notion d'espace vectoriel valué sur un corps K, et associer canoniquement à un tel espace une valuation sur K, notée w, compatible en un sens à préciser avec celle de l'espace vectoriel. Ceci va nous permettre de parler de (K, w)-espaces vectoriels valués pour tout corps valué (K, w) (definition 24). Le cas où (K, w) est trivialement valué correspond exactement à la condition de [2] de préservation de la valuation par la multiplication par un scalaire. On fixe un corps K. Les espaces vectoriels valués sur le corps K vont être traités comme des structures à deux sortes: la sorte de l'espace vectoriel et celle de l'espace des valuations. Le langage LE de la sorte de l'espace vectoriel contient le symbole de la somme, celui de l'élément neutre, et un symbole de fonction unaire pour chaque scalaire de K. Le langage LV de l'espace des valuations contient une relation d'ordre total, un symbole de fonction unaire pour la multiplication par chaque scalaire de K, et pour tout n ∈ ℕ*, un symbole de prédicat Rn contrôlant la cardinalité résiduelle. LV contient aussi un symbole de fonction unaire s qui sera la fonction successeur quand elle est définie et l'identité sinon.