ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ В ГРАДИЕНТНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ N-го ПОРЯДКА, "Наука юга России"

Abstract

В рамках градиентной теории упругости n-го порядка введены условия эллиптичности и сильной эллиптичности уравнений равновесия. В рассматриваемой модели плотность энергии деформации зависит от градиентов деформации до n-го порядка включительно. В результате уравнения равновесия представляют собой систему трех нелинейных уравнений в частных производных порядка 2n относительно вектора перемещений. Данная модель используется для описания дальнодействующих взаимодействий, особенно важных в случае моделирования материалов на малых масштабах. Действительно, градиентная теория упругости описывает масштабные эффекты, наблюдаемые на микро- и наноуровне. В нелинейной теории упругости условия сильной и ординарной эллиптичности рассматриваются как одни из определяющих неравенств. В частности, эллиптичность связывается с устойчивостью материала в малом. С математической точки зрения эллиптичность является естественным свойством уравнений статики, гарантирующим определенные свойства соответствующих краевых задач, такие как, например, гладкость решений, разрешимость, свойства спектра. В отличие от нелинейной теории упругости условия сильной эллиптичности в градиентных средах исследованы в меньшей степени. Здесь условия эллиптичности налагают ограничения на форму зависимости уравнений состояния от градиентов деформации n-го порядка. Именно эллиптичность влечет ограничения на касательные модули максимального порядка и не накладывает никаких ограничений на зависимость от градиентов деформации меньшего порядка. Градиентная теория упругости n-го порядка может рассматриваться как своего рода градиентная регуляризация модели n-1-го порядка для любого номера n. С этой точки зрения нарушения эллиптичности можно избежать, рассматривая градиенты деформации более высоких порядков.