Affiliation:
1. Федеральный исследовательский центр Южный научный центр Российской академии наук; Университет Кальяри
Abstract
В рамках градиентной теории упругости n-го порядка введены условия эллиптичности и сильной эллиптичности уравнений равновесия. В рассматриваемой модели плотность энергии деформации зависит от градиентов деформации до n-го порядка включительно. В результате уравнения равновесия представляют собой систему трех нелинейных уравнений в частных производных порядка 2n относительно вектора перемещений. Данная модель используется для описания дальнодействующих взаимодействий, особенно важных в случае моделирования материалов на малых масштабах. Действительно, градиентная теория упругости описывает масштабные эффекты, наблюдаемые на микро- и наноуровне. В нелинейной теории упругости условия сильной и ординарной эллиптичности рассматриваются как одни из определяющих неравенств. В частности, эллиптичность связывается с устойчивостью материала в малом. С математической точки зрения эллиптичность является естественным свойством уравнений статики, гарантирующим определенные свойства соответствующих краевых задач, такие как, например, гладкость решений, разрешимость, свойства спектра. В отличие от нелинейной теории упругости условия сильной эллиптичности в градиентных средах исследованы в меньшей степени. Здесь условия эллиптичности налагают ограничения на форму зависимости уравнений состояния от градиентов деформации n-го порядка. Именно эллиптичность влечет ограничения на касательные модули максимального порядка и не накладывает никаких ограничений на зависимость от градиентов деформации меньшего порядка. Градиентная теория упругости n-го порядка может рассматриваться как своего рода градиентная регуляризация модели n-1-го порядка для любого номера n. С этой точки зрения нарушения эллиптичности можно избежать, рассматривая градиенты деформации более высоких порядков.
Reference20 articles.
1. Bertram A. 2022. Compendium on gradient materials. Cham, Springer: 293 p.
2. Bertram A. 2021. Elasticity and plasticity of large deformations: including gradient materials. 4th edition. Berlin, Springer: 410 p.
3. Mechanics of strain gradient materials. 2020. Cham, Springer: VIII + 171 p.
4. Discrete and continuum models for complex metamaterials. 2020. Cambridge, Cambridge University Press. 398 p.
5. Вишик М.И. 1951. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Математический сборник. 29(71)(3): 615–676.