Retour sur l’arithmétique des intersections de deux quadriques

Abstract

Abstract Soit k un corps p-adique. On montre que toute intersection de deux quadriques dans l’espace projectif ℙ k 4 \mathbb{P}^{4}_{k} contient un point sur une extension quadratique, ce qui généralise un résultat de Creutz et Viray pour le cas lisse. La preuve utilise un théorème de Lichtenbaum sur les courbes de genre 1 sur un corps p-adique. On déduit de ce résultat que toute intersection lisse de deux quadriques X ⊂ ℙ k 5 X\subset\mathbb{P}^{5}_{k} sur un corps de nombres k possède un point sur une extension quadratique. On déduit aussi de ce résultat une démonstration relativement courte d’un théorème de Heath-Brown : le principe de Hasse vaut pour les intersections complètes lisses X ⊂ ℙ k 7 X\subset\mathbb{P}^{7}_{k} de deux quadriques sur un corps de nombres. On donne aussi une démonstration alternative d’un principe de Hasse pour certaines intersections de deux quadriques dans ℙ k 5 \mathbb{P}^{5}_{k} , dû à Iyer et Parimala. Lichtenbaum proved that index and period coincide for a curve of genus one over a p-adic field. Salberger proved that the Hasse principle holds for a smooth complete intersection of two quadrics X ⊂ ℙ n X\subset\mathbb{P}^{n} over a number field, if n ≥ 5 n\geq 5 and X contains a conic. Building upon these two results, we extend recent results of Creutz and Viray (2021) on the existence of a quadratic point on intersections of two quadrics over p-adic fields and over number fields. We then recover Heath-Brown’s theorem (2018) that the Hasse principle holds for smooth complete intersections of two quadrics in ℙ 7 \mathbb{P}^{7} . We also give an alternate proof of a theorem of Iyer and Parimala (2022) on the local-global principle in the case n = 5 n=5 .