Zentralsymmetrische statische Schwerefelder mit Räumen der Klasse 1

Abstract

Einbettungsfragen wurden in der Relativitätstheorie bisher selten betrachtet, da sich sofort die Frage nach der physikalischen Natur der Variablen des Einbettungsraumes stellt. Es gibt aber Fälle, wo sich das Einbettungsproblem von selbst stellt, das sind die Räume der Klasse 1, mit dem Rang ≥ 3 der 2. Fundamentalform bαβ dxα dxβ, da dann der 2. Fundamentaltensor bαβ aus der Metrik bestimmbar und der bαβ ein Tensor des Schwerefeldes wird. Behandelt sind nur zentralsymmetrische, statische Linienelemente, wo der Rang von bαβ gleich 4 ist. In diesem Fall folgen die Codazzi-Gleichungen aus jenen von GAUSS und brauchen nicht explizit berücksichtigt zu werden. Die Komponenten des RIEMANN–CHRISTOFFELSCHEN Tensors und die bαβ lassen sich in nichtrationaler Weise durch jene des EINSTEIN-Tensors Gαβ ausdrücken, wobei sich gewisse Bedingungen für die Gαβergeben, damit reelle Werte für die anderen Tensoren folgen. Die Anwendung auf das Schwerefeld einer Flüssigkeitskugel ergibt 2 Lösungen der Klasse 1, wobei eine davon die Innenlösung von SCHWARZSCHILD ist. Im letzten Abschnitt wird schließlich gezeigt, daß die Einbettung im 5-dimensionalen pseudoeuklidischen Raum dieselben Formeln für die bαβ liefert, die vorher ohne Bezugnahme auf die Einbettung gewonnen wurden.