Intervallmethoden zur Berechnung exponentieller Zustandseinschlüsse für die Erreichbarkeitsanalyse unsicherer Systeme

Abstract

Zusammenfassung Bei einer Vielzahl von Anwendungen aus dem Bereich der Ingenieurwissenschaften ist die Berechnung garantierter Einschlüsse der Mengen aller erreichbaren Zustandsgrößen von großem Interesse. Mögliche Anwendungsszenarien umfassen den Entwurf sowie die rechnergestützte Verifikation von (nicht-)linearen Zustandsregelungen sowie die Implementierung robuster modell-prädiktiver Regelungsansätze. Viele der hierbei betrachteten Anwendungen lassen sich nach einer geeigneten regelungsorientierten Modellbildung sowie gegebenenfalls nach einer Zustandstransformation in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen mit einem dominierenden linearen Anteil beschreiben, wobei nichtlineare Effekte nicht vollständig vernachlässigt werden sollten. Für die Berechnung gesicherter Zustandseinschlüsse lassen sich beispielsweise allgemeine Ansätze basierend auf Taylor-Reihenentwicklungen der zu bestimmenden Lösungen heranziehen. Diese allgemeinen Ansätze nutzen jedoch in der Regel kein Vorwissen über systemspezifische Eigenschaften wie quasi-lineare Dynamik oder Stabilität. Um diese Eigenschaften in der Praxis effizient nutzbar zu machen, wird im Rahmen dieser Arbeit ein Exponentialansatz zur Berechnung garantierter Lösungseinschlüsse für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen hergeleitet, der ausgehend von einer reellwertigen Implementierung für Systeme mit aperiodischer Dynamik auf die Berechnung komplexwertiger Zustandseinschlüsse für Prozesse mit oszillatorischem Verhalten verallgemeinert wird. Zum Abschluss werden Möglichkeiten vorgestellt, die entwickelten Verfahren auf Systeme von fraktionalen Differentialgleichungen auszudehnen.