Über das Schwingersche Funktional in der Feldtheorie

Abstract

Das Schwingersche Funktional äußerer Quellen und mit diesem eng zusammenhängende Funktionale sind die erzeugenden Funktionale der Matrixelemente zeitlich geordneter Operatorenprodukte und anderer Funktionensysteme, welche verschiedene Autoren aus diesen Matrixelementen abgeleitet haben. Die Schwingerschen Funktionalgleichungen sind den unendlichen Gleichungssystemen für diese Funktionen äquivalent. Sie können durch funktionale Fourier-Transformation gelöst werden. Die so gewonnene Darstellung des Schwingerschen Funktionals stellt die Übertragung des Feynmanschen „path integral“ auf quantisierte Felder dar. Eine formale Auswertung des Integrals liefert die formale Aufsummierung der Dysonschen S-Matrix-Entwicklung. Andere Näherungsmethoden werden diskutiert. Praktisch brauchbar scheint nur die Sattelpunktmethode, welche bei Anwendung auf Oszillatoren die Korrespondenzrelation zwischen Energiestufen und klassischen Frequenzen liefert. Die Integration über unendlich viele Variable kann auch durch eine Integration über endlich viele Variable angenähert werden, was der Berücksichtigung nur endlich vieler Plätze in einer Besetzungsdarstellung entspricht. So können in jeder Näherung endliche Resultate erhalten werden; die Probleme des Grenzübergangs zu unendlicher Variablenzahl werden nicht diskutiert. Mittels Funktionalen nur auf einer raumartigen Fläche verteilter Quellen wird eine geschlossene Darstellung der neuen Tamm-Dancoff-Methode gegeben, wobei auch die Randbedingungen einbezogen werden können. Die Anwendung dieser Darstellung auf anharmonische Oszillatoren führt zu einer Kritik der neuen Tamm-Dancoff-Methode. Im Anhang sind Formeln für die Integration über den Hilbert-Raum zusammengestellt.