CONSTRUCTING ELLIPTIC CURVES WITH A SUBGROUP OF A GIVEN ORDER AND WITH A GIVEN ENDOMORPHISM RING

Abstract

Metoda mnożeń zespolonych (CM metoda) pozwala skonstruować krzywą eliptyczną nad ciałem skończonych, której pierścień endomorfizmów jest ordynkiem maksymalnym w ciele urojonym kwadratowym o odpowiednio małym wyróżniku. Stosując CM metodę Lay i Zimmer oraz Br¨oker i Stevenhagen podali metodę konstruowania krzywej eliptycznej danego rzędu n nad pewnym ciałem prostym. Ich metoda ma heurystycznie wielomianowy czas działania, jeśli n nie ma zbyt wielu dzielników pierwszych. W tym opracowaniu pokażemy, że w analogiczny sposób można skonstruować krzywą eliptyczną, która zawiera podgrupę danego rzędu r i ma dany pierścień endomorfizmów o odpowiednio małym wyróżniku. Przy pewnych heurystycznych założeniach metoda ma wielomianowy czas działania, jeśli r jest liczbą pierwszą.