1. Tale osservazione vale anche in condizioni più generali relativamente alla trasformazione ed allo spazio in cui essa opera. Si vedaR. Conti,Un'osservazione sulle trasformazioni continue di uno spazio metrico e alcune applicazioni « Le Matematiche », Catania, 15 (1960) 92–97.
2. L. A. Ladyzenskii,Condizioni per la completa continuità dell'operatore integrale di P. S. Urysohn nello spazio delle funzioni continue, « Dokl. Akad. Nauk S. S. S. R », 97 (1954), 1105–1108; Cfr. ancheM. A. Krasnosel'skii,Metodi topologici nella teoria delle equazioni integrali non lineari (G. I. T. T. L., Mosca, 1956). L'enunciato del teorema è il seguente: « Sia Δ un insieme chiuso e limitato di unE
k
euclideo e la funzioneK(t, s, u) definita int, s ε Δ,u εE
1
soddisfi le seguenti condizioni:a)K(t, s, u) sia continua inu per ognit ε Δ e per quasi tutti glis ε Δ e sia misurabile —L ins pert ε Δ,u εE
1
;b) per ogni α>0 sia
$$\int\limits_\Delta {\mathop {\sup }\limits_{\left| u \right| \leqslant \alpha } } \left| {K\left( {t,s,u} \right)} \right|ds< \infty , t \in \Delta $$
$$\mathop {\lim }\limits_{\left| h \right| \to 0} \int\limits_\Delta {\mathop {\sup }\limits_{\left| u \right| \leqslant \alpha } } \left| {K\left( {t + h,s,u} \right)} \right| - K\left( {t,s,u} \right)\left| {ds} \right. = 0,t, t + h \in \Delta .$$
Allora l'operatore (diUrysohn)
$$\int\limits_\Delta {K\left( {t,s,x\left( s \right)} \right)ds} $$
opera nello spazioR (n=1) ed è completamente continuo ». La dimostrazione di questo teorema si trasporta senza difficoltà al cason>1.
3. Cfr.A. Smogorshewsky,Les fonctions de Green des systèmes différentiels linéaires dans un domaine à une seule dimension, « Matem. Sbornik », 7 (49) (1940), 179–196.
4. I. Barbalat-A. Halanay,Solutions périodiques des systèmes d'équations différentielles non linéaires, « Revue math. pures et appl. (R.P.R) », 3 (1958), 395–411;L. N. Esciukov,Su un problema funzionale per le equazioni differenziali ordinarie, « Uspiehi Mat. Nauk », XIII, 3 (81), (1958), 191–196;R. Conti,Equazioni differenziali ordinarie con condizioni lineari generali, « Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sc. fis. mat. nat. », (8) 26 (1959), 636–640.