1. M. Radon dans son MémoireTheorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen (Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Band 122, Abt. IIa, s. 1205–1438, Wien 1913) donne une définition très générale de l'intégrale deStieltjes, mais lui aussi ne considère que le cas où chacune des intégrales
$$\int\limits_a^b {fd\varphi _1 } $$
et
$$\int\limits_a^b {fd\varphi _2 } $$
existe et définit l'intégrale
$$\int\limits_a^b {fd\varphi } $$
comme leur différence.
2. Rappelons la définition de lavariation algébrique (Ch. de laVallée-Poussin,Cours d'Analyse Infinitésimale, t. 1, 3e édition, pag. 267): SoitF(x) une fonction continue etE un ensemble mesurable. EnfermonsE en une infinité dénombrable d'intervalles (a
n,b
n) sans points communs deux à deux et considérons la somme
$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {F\left( {b_n } \right) - F\left( {a_n } \right)} \right]} $$
. Si cette série est absolument convergente, sa valeur est lavariation de F(x) dans l'ensemble des intervalles (a
n,b
n). Si cette variation tend vers une limite toujours la même quand on fait tendre la somme Σ(b
n −a
n) des longueurs des intervalles vers la mesure deE, cette limite estla variation algébrique de F(x) dans l'ensemble E. Il est important de remarquer que dans le cas que nous étudions, la variation de ϕ(x) sur un ensemble peut être positise ou negative, puisqu'on ne suppose guère que la fonction ϕ(x) soit toujours croissante ou toujours décroissante. C'est par cette raison que l'intégrale deLebesgue-Stieltjes
$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)d\varphi } $$
peut exister sans que les deux intégrales
$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)d\varphi 1} $$
et
$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)d\varphi 2} $$
existent, où l'on a posé ϕ(x)=ϕ1(x) − ϕ2(x), ϕ1(x) et ϕ2(x) étant non décroissantes.
3. Ch. De la Vallée-Poussin,Cours d'Analyse, t. 1, 3e édition, pag. 267.
4. Ch. De la Vallée-Poussin,Cours d'Analyse, t. 1, 3e édition, pag. 283.
5. Ch. De la Vallée-Poussin,Cours. d'Analyse, t. I, 3e édition, pag. 281–283.