Analyse des Kontinuums mit surrealen Zahlen

Abstract

ZusammenfassungAusgehend vom anschaulichen Begriff des Kontinuums betrachten wir drei klassische Konzepte des Kontinuums und entwickeln für das lineare, geometrische Kontinuum mathematische Modelle, wobei wir vereinfacht eine Strecke betrachten. In allen drei Fällen sind die Teile des Kontinuums linear angeordnet und ihre Ordnung ist dicht.Das Kontinuum des Parmenides ist eine unteilbare Einheit. Das entsprechende Modell der Strecke ist eine Einermenge und somit ohne Lücken.Das Kontinuum des Aristoteles ist potentiell unendlich, aktual endlich oft teilbar und die Teile sind wieder teilbare Kontinua. Das entspreche Modell der Strecke ist isomorph zum angeordneten Körper der rationalen Zahlen.Das hypothetische Kontinuum des Zenon ist aktual unendlich oft teilbar und die Teile sind wieder teilbare Kontinua. Die Teile der Strecke werden mittels transfiniter Rekursion durch fortgesetzte Zweiteilung konstruiert und tragen damit in natürlicher Weise die Struktur eines geordneten, vollen, dyadischen Wurzelbaums.Gleichzeitig wird ein Isomorphismus der Punkte zum nicht-archimedischen angeordneten Körper der surrealen Zahlen konstruiert, dem universellen, absoluten, arithmetischen Kontinuum. Dann gibt es viele infinitesimal kleine und infinit große Strecken. Die Punkte bilden eine echte geordnete Klasse mit intervallvollständiger, aber nicht schnittvollständiger Ordnung, die sehr viele Lücken hat.