1. National Research Fellow.
2. Walsh, Transactions of the American Mathematical Society 26 (1924), S. 168, Kußnote.
3. Walsh, Mathematische Annalen 96 (1926), S. 430–436. (Bemerkung bei der Korrektur.) Ich habe erst neulich (am 23. Juli 1926) durch eine freundliche mündliche Mitteilung von Herrn Maroel Riesz erfahren, daß dieser Satz durch die von Carleman benutzten Methoden sich beweisen läßt. Carleman hat einen ähnlichen aber weniger allgemeinen Satz bewiesen. Vgl. „Über die Approximation analytischer Funktionen“, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 17 (1922–23). Herr Riesz hat diese Tatsache vor drei Jahren bemerkt, ohne sie zu publizieren.
4. Göttinger Naehrichten 1914, S. 101–109, Satz IV.
5. Ich verdanke Prof. Hartogs die Idee der folgenden Bemerkung. Satz III ist an und für sich vielleicht nicht ohne Interesse. Man kann aber beweisen, daß die Funktion 1/f (z) sich auf C nach Polynomen von z und 1/z gleichmäßig approximieren läßt; daher folgt Satz I ohne Gebrauch von Satz III. Die Funktion f(z) hat nämlich eine einfache Nullstelle in z = 0, und die Funktion 1/f(z) dort einen einfachen Pol: $$\frac{1}{f(z)}=\frac{a}{z}+f_1(z)$$ , wo f 1(z) im Inneren von C analytisch ist und im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetig. Die Gleichung gilt im abgeschlossenen Bereich. Iu d’sem abgeschlossenen Bereich läßt sich f 1(z) durch Polynome von z gleiohmäßig approximieren, also 1/f(z) durch Polynome von z und 1/z.