1. Sannia,Nuova esposizione della geometria infinitesimale delle congruenze rettilinee (Annali di Matematica, Serie 3.a, T. XV (1908)).
2. Cf. la mia Memoria:Sopra alcune classi di congruenze rettilinee negli spazî di curvatura costante (Annali di matematica, Serie 3.a, T. X (1904)).
3. Questa proprietà può anche enunciarsi sotto la forma equivalente:Ogni superficie pseudosferica ammette due deformazioni infinitesime nelle quali i punti si spostano secondo le binormali alle trajettorie ortogonali delle asintotiche. È facile vedere che la funzionecaratteristica φ diWeingarten (Vol. II, pag. 5) corrispondente a queste deformazioni infinitesime è $$\Phi = \frac{{\partial \theta }}{{\partial u}} \pm \frac{{\partial \theta }}{{\partial v}}.$$ Le due deformazioni infinitesime appartengono alfascio che comprende le due funzioni caratteristiche ∂ϑ/∂u, ∂ϑ/∂v, le quali ultime corrispondono nel medesimo modo allecongruenze W formate dalle tangenti alle linee di curvatura.
4. Coll'adoperare le formole nel testo escludiamo il caso che laS sia una sfera. In questo caso la ricerca si esaurisce subito nel modo seguente: In primo luogo si può risolvere in generale la questione di costruire tutte le congruenzeW con una falda focale sferica. Assumendo le caustiche a lineev=cost. e le trajettorie ortogonali a lineeu=cost., basta applicare la formola (19) del Vol. III delleLezioni (pag. 219) per vedere che si avrà una congruenzaW allora ed allora soltanto che sia soddisfatta la condizione $$\frac{\partial }{{\partial r}}\left[ {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 \\ \end{array} } \\ 1 \\ \end{array} } \right\} - \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ \end{array} } \\ 2 \\ \end{array} } \right\}} \right] = \frac{\partial }{{\partial u}}\left[ {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ \end{array} } \\ 1 \\ \end{array} } \right\} + \frac{G}{E}\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 \\ \end{array} } \\ 2 \\ \end{array} } \right\}} \right],$$ ossia sostituendo i valori dei simboli $$\frac{\partial }{{\partial v}}\left( {\frac{1}{{2E}}\frac{{\partial E}}{{\partial u}} - \frac{1}{{2G}}\frac{{\partial G}}{{\partial u}}} \right) = 0,$$ o in fine ∂2/∂u∂v log (E/G)=0, formola che esprime essere il sistema (u, v) isotermo. Ne concludiamo:Per costruire la più generale congruenza W con una falda focale sferica si tracci sulla sfera un qualunque sistema doppio ortogonale isotermo e si tirino le tangenti alle linee dell'uno o dell'altro sistema. Venendo ora alla nostra ricerca speciale delle congruenzeW a parametro medio costantea con una falda focale sferica, basta applicare il risultato superiore e le formole generali (III), (IV) § 4 per stabilire la proposizione seguente:Per costruire le congruenze W di parametro medio costante a con una falda focale S sferica (di raggio=1),si consideri sulla sfera un sistema di meridiani e si tirino i raggi tangenti alla sfera ed inclinati dell'angolo costante α=arc tg αsui meridiani. Si osservi che questa costruzione rientra come caso particolare in quella data al § 5 (1.° caso) per una superficie qualunque di rotazione. Qui le caustiche sono lossodromiche congruenti, e la seconda falda focale $$\bar S$$ è un iperboloide rotondo a due falde concentrico alla sfera e tangente a questa nei due vertici.
5. Con questa denominazione intendiamo l'equazione per le deformazioni infinitesime della superficie ridotta alle forme normali α) e β) del testo (Vol. II, § 226). Essa è altresì l'equazionè cui soddisfano nelle formole diLelieuvre (Vol. I, § 77) i coseninormalizzati ξ, ν, ζ della normale, cioè i coseni stessi moltiplicati per √ρ, essendo |K|=1/ρ2.