1. Die Wendung «alle bis auf endlich viele» kommt, wie man sieht, in der Analysis sehr oft vor. Diese Wendung kürzt man nach dem Vorschlag von G. Kowalewski durch «fast alle» ab, womit das Wort «fast» eine exakte Bedeutung erhält. Doch hat sich diese Abkürzung noch nicht allgemein eingebürgert. (Vgl. G. Kowalewski, Einführung in die Infinitesimalrechnung, Aus Natur und Geisteswelt, Teubner, 1928, 4. Aufl., p. 15.)
2. Gelegentlich betrachtet man auch Zahlenfolgen a
v
(v = v0, v
0
+ 1,. . .), bei denen die Indizes zwar auch über ganze Zahlen ins Unendliche gehen, die Numerierung aber mit einer ganzen Zahl v
0
beginnt, die > 1 oder < 1 ist. Um für eine solche Folge die Konvergenz oder den Grenzwert zu definieren, werden in ihr im Falle v0 < 1 die endlich vielen Elemente weggelassen, deren Indizes > 1 sind, und im Falle v
0
> 1 endlich viele Elemente mit den Indizes 1, 2, . . ., v0 – 1 in beliebiger Weise hinzugefügt. Ist die so entstehende Folge konvergent und hat sie s zum Grenzwert, so heisst die ursprüngliche Folge konvergent und s ist ihr Grenzwert. Ist die entstehende Folge divergent, so heisst auch die ursprüngliche Folge divergent. — Noch einfacher ist es, die Indizes der a
v
so zu verschieben, dass sie von 1 an laufen, indem man setzt
3. Augustin Louis Cauchy (1789–1857), der bedeutendste französische Mathematiker seit Lagrange. — Bernhard Balzano (1781–1848) war vor allem Philosoph, hat aber eine Reihe von sehr wichtigen, rein mathematischen Entdeckungen gemacht, die für die Grundlegung der Infinitesimalrechnung von Bedeutung sind. Es ist bemerkenswert, dass er der einzige Fachphilosoph im 19. und 20. Jahrhundert ist, der auch in der Mathematik bedeutende Fachleistungen vollbracht hat, — während vom klassischen Altertum an bis zum 18. Jahrhundert es immer wieder bedeutende Philosophen gab, die zugleich erstrangige Mathematiker waren.
4. Wie man sieht, ist der mit dieser Formulierung erzielte Fortschritt immerhin damit erkauft, dass man mit der Differenz a
v
— a
μ
gewissermassen eine Funktion zweier Variablen v, μ zu betrachten hat.
5. Das Symbol oo für Unendlich verdankt man John Wallis (1616–1703), der es zuerst 1655 benutzt hat.