1. ?Zusammenstellung der irreduziblen komplexen Zahlensysteme in sechs Einheiten,? abgedruckt im 54. Bande der Denkschriften der math.-naturw. Klasse der K. Akademie der Wissensch. zu Wien, 1908, S. 269?328.?Diesen Aufsatz werde ich von nun an mit ?Diss S.x? zitieren.?Für die übrige Literatur beziehe ich mich auf die Angaben von J. A. Schouten ?Klassifizierung der assoziativen Zahlensysteme?, Math. Ann. 76 (1914), S. 1?66.?Diese Arbeit wird im folgenden mit ?Schouten S.x? angeführt.
2. Es können aber nicht alle nullfaktorialen Systeme als ein nullpotentes Untersystem eines Nichtquaternionsystems mit mehr als einer Haupteinheit verwendet werden. Die Auffindung der nullfaktorialen Systeme, die bei gegebener Hauptreihe zu diesem Zwecke angewandt werden können, bildet jetzt die wichtigste Aufgabe der Theorie, da die allgemeinen Systeme auf Nichtquaternionsysteme zurückgeführt worden sind, und diese, wenn einmal die Charaktereneinteilung gegeben ist, auf die nullpotenten Nebensysteme reduziert sind. Die Gruppeneinteilung (Diss. S. 325?326) sollte in dieser Richtung alles sicher bis jetzt gewonnene zum Ausdruck bringen. (Vgl. die diesbezügliche Meinung von Shaw?Schouten S. 53, Anm.?und weiter von demselben Verfasser ?Bull. of the intern. Ass. for promoving the study of Quaternions and allied Systems of mathem.? Juni 1906, S. 56.) Die Hawkesche Methode?Schouten S. 36?die zur Aufstellung aller Nichtquaternionsysteme dienen soll, geht nicht viel über die Aufstellung der Tabelle nach den Charakteren hinaus. Über das nulfaktoriale Nebensystem gibt sie aber, bei komplizierteren Fällen, fast keinen Anhaltspunkt, da man nicht, falls eine Reihe allgemeiner Parameter vorkommt, ohne andere Unterannahmen zu machen, die Einheiten herausfinden kann, die zur ersten und zur letzten Gruppe gehören. Eine Kritik davon habe ich schon in Diss. S. 289 gegeben. Nun bemerke ich aber, daß auch Theorem VI?Schouten, a. S. 3 drittangeg. O. S. 369?nicht richtig ist, wie man aus dem System der Quaternionen durch Weglassung vone 11 ersehen kann. Das resultierende System ist nicht assoziativ.?Hieraus haben sich aber zwei weitere unrichtige Tabellen ergeben: die Systeme 13·1 und 23·1 sind nicht assoziativ, das erste ine 3 e 2 e 6, das zweite ine 2 e 6 e 3. Diese habe ich auch in meiner Dissertation weidergegeben: VI134 und VI136 sind zu streichen.
3. Von der Möglichkeit dieser Einteilung liegen noch, zweidirekte (s. unten) Beweise vor. Der erste von Hawkes (s. Schouten, S. 17 Anm.), der zweite von Schouten selbst (Schouten S. 15?17). Der erste muß in der Weise ergänzt werden, daß man ihn als einen Schluß vonn aufn+1 Einheiten betrachtet. Der zweite ist in etwas allzu knapper Form gehalten: es wird nicht ausdrücklich hervorgehoben, daß die vier betrachteten Operatoren in bezug auf verschiedene Einheiten der Hauptreihe kommutativ sind, so daß die Reihenfolge der Einheiten einer bestimmten Reihe belanglos ist, und daß die Resultate der Charaktereneinteilung untereinander linear unabhängig sind.
4. Im entsprechenden Beweise des Theorems VIII (Schouten S. 24) fehlt dieser wichtigen Schritt. Schouten beweist nämlich, daß die Nebeneinheiten nullpotent sind und ein Untersystem bilden, nicht aber, daß sie ein nullpotentes Untersystem bilden, das heißt, daß auch alle ihre linearen Zusammensetzungen nullpotent, respektive nullfaktorial sind.
5. Auch bei derRegelung des Systems in bezug auf ein Hauptquadrat (s. Schouten S. 24?25) vermißt man den Beweis, daß die Einteilung nach Gruppen mit derjenigen nach Charakteren sich verträgt (s. Diss. 325?326 für Nichtquaternionsysteme, und, nach dem im Text ausgeführten, auch für alle Systeme). Es könnte wohl möglich sein, daß man, wenn man versucht das Untersystem der Nebeneinheiten analog wie bei Theorem VI zu ordnen, gezwungen sein müßte, gemischte Charaktere einzuführen. Auch ist zu bemerken, daß die neue Ordnung nichts mit der alten Regelung der Einheiten geraden Charakters gemein hat. Es geschieht oft, daß man gezwungen ist, nicht nur die frühere Regelung ganz umzuordnen, sondern auch die Einheiten verschieden zu wählen. Z. B. kann eine Einheit geraden Charakters, welche mit allen Einheiten desselben Charakters nullfaktorial ist, in den Produkten mit den Einheiten anderer Charaktere Vielfachsummen von Einheiten aller möglichen früheren und späteren Gruppen enthalten, so daß sie bei der neuen Regelung nicht beibehalten werden kann. Endlich bemerke ich, daß der Begriff derdurchgehenden Selbstisomorphie (s. Schouten S. 27 u. ff., und besonders S. 35, Anm.) in meiner Dissertation (S. 327?28) schon eingeführt worden war, und daß mein Satz XIII, mit Theorem IX, S. 34 von Schouten, für den beschränkteren, aber bei weitem wichtigeren Falle der Nichtquaternionsysteme, übereinstimmt.