Theoretical analysis of the stability of slopes

Abstract

The problem of limiting equilibrium of a slope in a state of plane strain is formulated in terms of the variational calculus. Formulated that way, the analysis is carried out without any a priori assumptions with respect to the shape of the slip surface, or the normal stress distribution along it. Thus, on the basis of only a formal definition of the concepts of limiting equilibrium, and factor of safety with respect to strength, it is proven that the minimal factor of safety must occur on slip surfaces with a special geometrical property. This geometrical property ensures that the resultant of the infinitesimal normal and frictional forces either pass through a common point or are parallel to a common direction. It is shown that as a result of this geometrical property the minimal factor of safety is independent of the normal stress distribution along the critical slip surface. In the homogeneous and isotropic case the analysis shows that the critical slip surface may be either a log-spiral or a straight line. In a layered profile the critical slip surface may consist of series of log-spirals that have a common pole or a series of straight lines. In some cases the boundary between layers may be part of the critical slip surface. All the results obtained are valid for a general non-homogeneous, non-isotropic soil with arbitrary distribution of pore water pressure and external loads. Le problème plan de l'équilibre limite d'un talus est formulé dans le cadre du calcul des variations. L'analyse est faite sans aucune hypothèse à priori concernant la forme de la ligne de glissement ou la répartition des contraintes normales, le long de cette ligne. On montre que la valeur la plus faible du coefficient de sécurité est obtenue pour une ligne de glissement à géométrie particulière. La démonstration de ce résultat ne font appel qu'aux équations d'équilibre limite et à la définition du coefficient de sécurité unique, égal au rapport des caractéristiques réelles et réduites du matériau. Cette propriété géométrique particulière se distingue par le fait que les forces infinitésimales résultantes des contraintes normales et tangentielles le long de la ligne de glissement passent par un même point ou sont parallèles. Il en résulte que la valuer la plus faible du coefficient de sécurité est indépendente de la répartition des contraintes normales à la ligne de glissement critique. Dans le cas d'un milieu homogène et isotrope l'analyse montre que la ligne de glissement critique peut être soit une spirale logarithmique soit une ligne droite. Dans le cas d'un profil multicouches, la ligne de glissement critique peut comprendre soit une série de spirales logarithmiques à foyer commun soit une série de lignes droites, ainsi que l'interface entre les couches dans certains cas. Tous les résultats obtenus sont valables dans le cas d'un sol non homogène et non isotrope avec répartition quelconque de la pression intertitielle et des forces extérieures.