О сингулярных решениях многомерного дифференциального уравнения типа Клеро со степенной и показательной функциями

Abstract

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо известно уравнение Клеро. Это уравнение представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, неразрешенное относительно производной. Нахождение общего решения уравнения Клеро подробно описано в литературе, и известно, что оно представляет собой семейство интегральных прямых. Однако наряду с общим решением для таких уравнений существует сингулярное (особое) решение, представляющее собой огибающую данного семейства интегральных прямых. Отметим, что сингулярное решение уравнения Клеро представляет определенный интерес в ряде прикладных задач. Помимо обыкновенного дифференциального уравнения Клеро известно дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных типа Клеро. Данное уравнение представляет собой многомерное обобщение обыкновенного дифференциального уравнения Клеро на случай, когда искомая функция зависит от многих переменных. Задача нахождения общего решения для уравнений типа Клеро в частных производных решена. Известно, что полный интеграл уравнения представляет собой семейство интегральных (гипер)плоскостей. Помимо общего решения могут существовать частные решения, а в некоторых случаях удается найти сингулярное решение. Общего алгоритма нахождения сингулярного решения, вообще говоря, не существует, поскольку задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. В статье изучается проблема нахождения сингулярного решения дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных для частного выбора функции от производных в правой части. Работа устроена следующим образом. Во введении дан краткий обзор некоторых современных результатов, относящихся к исследованию уравнений типа Клеро в теории поля и классической механике. В первой части даются общие сведения о дифференциальных уравнениях типа Клеро в частных производных и структуре его общего решения. В основной части работы обсуждается метод нахождения сингулярных решений многомерных дифференциальных уравнений типа Клеро. Основным результатом работы является нахождение сингулярных решений уравнений, содержащих степенную и показательную функции.