Эрмитовы метрики с (анти)автодуальным тензором Римана

Abstract

Составлены уравнения (анти)автодуальности для компонент связности Леви-Чивита (а не для тензора Римана) положительно определенной эрмитовой метрики. Этим известным приемом получается более простая система дифференциальных уравнений в частных производных, влекущая (анти)автодуальность тензора Римана. Эта система 1-го порядка, тогда как уравнения (анти)автодуальности тензора Римана - 2-го порядка. Однако этим способом можно получить лишь часть решений уравнений (анти)автодуальности тензора Римана. Составленные уравнения оказались существенно разными в автодуальном и антиавтодуальном случаях. В случае автодуальности уравнения разбиваются на три класса, для каждого из которых найдено общее решение. В антиавтодуальном случае мы общего решения не нашли, но привели две серии частных решений. Известно, что из (анти)автодуальности тензора Римана вытекает равенство нулю тензора Риччи. Следовательно, найдены пять серий новых решений вакуумных уравнений тяготения Эйнштейна, причем все решения в квадратурах или в явном виде. Указана связь найденных решений с кэлеровыми метриками. В случае (анти)автодуальности связности Леви-Чивита для эрмитовой метрики приведен общий вид параллельных почти комплексных структур, сохраняющих метрику. Они все без кручения. Для произвольной положительно определенной 4-метрики найден общий вид почти комплексных структур, сохраняющих эту метрику.