Об одном методе поиска глобального экстремума непрерывной функции на симплексе

Abstract

Рассматривается невыпуклая задача математического программирования, допустимой областью которой является симплекс. Для приближенного решения задачи предложен двухэтапный алгоритм. На первом этапе определяется область глобального оптимума, на втором осуществляется локальная «доводка» решения. Первый этап реализуется методом $\Psi$-преобразования, который менее чувствителен к размерности задачи, чем прямой случайный поиск. Метод состоит в построении и использовании $\Psi$-функции. Построение $\Psi$-функции осуществляется эмпирически, по результатам статистических испытаний. Для проведения испытаний используется генератор случайных точек, равномерно распределенных в допустимой области. Получение равномерного распределения в симплексе осуществляется путем аффинных и линейных преобразований точек, равномерно распределенных в единичном гиперкубе. Для уточнения приближенного решения, полученного на первом этапе, применяется метод отражения правильных симплексов. Алгоритм представляет собой череду серий. Каждая очередная серия начинается с уменьшения длины ребра «рабочего» симплекса и переноса последнего в область лучшей точки предыдущей серии. Рассматриваемая задача имеет важное прикладное значение. К ней сводятся задачи смешения, возникающие в нефтепереработке, нефтехимии, строительстве. В статье представлен пример использования разработанного алгоритма для оптимизации компонентного состава углеводородной смеси.