Algorithmic solution of extremal digraph problems

Abstract

For a given family L \mathcal {L} of digraphs, we study the "extremal" digraphs on n n vertices containing no member of L \mathcal {L} , and having the maximum number of arcs, ex ⁡ ( n , L ) \operatorname {ex} (n,\mathcal {L}) . We resolve conjectures concerning the set { lim n → ∞ ( ex ⁡ ( n , L ) / n 2 ) } \{ {\lim _{n \to \infty }}(\operatorname {ex} (n,\mathcal {L})/{n^2})\} as L \mathcal {L} ranges over all possible families, and describe a "finite" algorithm that can determine, for any L \mathcal {L} , all matrices A A for which a sequence { A ( n ) } \{ A(n)\} of "matrix digraphs" is asymptotically extremal ( A ( n ) A(n) contains no member of L \mathcal {L} and has ex ⁡ ( n , L ) + o ( n 2 ) \operatorname {ex} (n,\mathcal {L}) + o({n^2}) arcs as n → ∞ n \to \infty .) Résumé. Pour une famille donnée, L \mathcal {L} , de digraphes, on étudie les digraphes "extrémaux" à n n sommets qui ne contiennent aucun membre de L \mathcal {L} , et qui possèdent le nombre maximal d’arêtes, ex ⁡ ( n , L ) \operatorname {ex} (n,\mathcal {L}) . On résolue des conjectures qui concernent l’ensemble { lim n → ∞ ( ex ⁡ ( n , L ) / n 2 ) } \{ {\lim _{n \to \infty }}(\operatorname {ex} (n,\mathcal {L})/{n^2})\} où L \mathcal {L} soit une famille quelconque, et on présente un algorithme "fini" qui peut déterminer, pour chaque L \mathcal {L} , toute matrice A A pour laquelle une suite { A ( n ) } \{ A(n)\} de "digraphes matriciels" est extrémale asymptotiquement ( A ( n ) A(n) ne contient aucun membre de L \mathcal {L} et possède ex ⁡ ( n , L ) + o ( n 2 ) \operatorname {ex} (n,\mathcal {L}) + o({n^2}) arêtes lorsque n → ∞ n \to \infty .)