О точности одного семейства адаптивных симплектических консервативных численных методов решения задачи Кеплера

Abstract

Излагаются результаты анализа точности нового однопараметрического семейства адаптивных симплектических консервативных численных методов для решения задачи Кеплера. Методы осуществляют симплектическое отображение начального состояния в текущее состояние и, в следствие этого, сохраняют фазовый объем. В отличие от существующих симплектических методов, например, метода Верле, они сохраняют в рамках точной арифметики все присущие задаче первые интегралы, а именно момент импульса, полную энергию и вектор Лапласа-Рунге-Ленца. Кроме того, сохраняется орбита и годограф скорости. Переменный шаг интегрирования выбирается автоматически исходя из локальных свойств решения задачи. Он уменьшается там, где фазовые переменные изменяются наиболее быстро. Методы аппроксимируют зависимость фазовых переменных от времени либо со вторым, либо с четвертым порядком в зависимости от значения параметра. Установлены пределы числа расчетных точек на период решения, обеспечивающих определенный порядок точности. При числе расчетных точек, превышающих верхний предел, нецелесообразно проводить расчеты из-за определяющего влияния ошибок округления. При увеличении эксцентриситета орбиты верхний предел числа расчетных точек уменьшается. Показано, что существует зависимость между значением параметра и числом расчетных точек, при которой приближенное решение является точным в рамках точной арифметики. Одна из проблем вычислительной математики заключается в следующем: к настоящему времени не существует численного метода, сохраняющего все глобальные свойства точных решений задачи Коши для гамильтоновых систем в общем случае. Исследуемые методы для задачи Кеплера являются примером положительного решения обозначенной проблемы.