О нильпотентных степенных $MR$-группах

Abstract

Понятие степенной $MR$-группы, где $R$ - произвольное ассоциативное кольцо с единицей, было введено Р. Линдоном. А. Г. Мясников и В. Н. Ремесленников дали более точное определение $R$-группы, введя дополнительную аксиому. В частности, это новое понятие степенной $MR$-группы является непосредственным обобщением понятия $R$-модуля на случай некоммутативных групп. В статье вводятся центральные ряды и ряды коммутантов в $MR$-группах. Обсуждаются три варианта определения нильпотентных степенных $MR$-групп ступени $n$. Доказано, что для $n=1,2$ все эти определения эквивалентны. Вопрос о совпадении этих понятий для $n>2$ остается открытым. Кроме того, доказано, что тензорное пополнение двуступенно нильпотентной $MR$-группы двуступенно нильпотентно.