Locally one-dimensional method for the transfer equation of a continuous medium with distributed parameters on a network-like domain

Abstract

В работе рассматривается широкий спектр вопросов, относящихся к решению начально-краевой задачи для уравнения в частных производныхпараболического типа с многомерной пространственной переменной, принадлежащей евклидову пространству и изменяющейся на сетеподобной области. Математическая модель, описывающая процесс переноса сплошной среды по сетевому носителю, определяется формализмами начально-краевой задачи. Развивается ставшая классической идея для случая , когда сетеподобная область является ориентированным ограниченным графом, т. е. совокупностью конечного числа отрезков, сочлененных между собой посредством концевых точек. При исследовании используются классические аппроксимации эволюционных дифференциальных уравнений 2-го порядка, а также неклассические аппроксимации дифференциальных соотношений, описываемых обобщенными условиями Кирхгофа в местах ветвления сетеподобной области (узловых местах области). При использовании разностных аппроксимаций оператора начально-краевой задачи устанавливаются погрешность аппроксимаций и условия устойчивости разностной схемы. Изучены характерные свойства локально-одномерного метода и метода прогонки, используемых для решения поставленной задачи. Предложен алгоритм численного решения поставленной задачи, разработана ЭВМ-программа и осуществлен вычислительный эксперимент на серии задач прикладного характера. Полученные результаты представляют интерес для анализа прикладных задач переноса многофазных сплошных сред по сетеподобным 3D носителям. The paper considers a wide range of issues related to the solution of an initial-boundary value problem for a parabolic partial differential equation with a multidimensional space variable belonging to the Euclidean space and changing on a network-like domain. The mathematical model describing the process of transferring a continuous medium over a network carrier is determined by the formalism of the initial-boundary value problem. An idea that has become classical is further developed for the case when a network-like region is a directed bounded graph, i.e., a collection of a finite number of segments connected to each other by means of end points. The study employs classical approximations of evolutionary differential equations of the 2-nd order as well as non-classical approximations of differential relations illustrated by generalized Kirchhoff conditions at the branching points of a network-like region (nodal points of the region). When using difference approximations of the initial-boundary value problem operator, the approximation error and stability conditions for the difference scheme are established. The characteristic properties of the locally one-dimensional method and the sweep method utilized to solve the stated problem are studied. An algorithm for the numerical solution of the stated problem is proposed, a computer program is designed, and a computational experiment is carried out on a series of applied problems. The findings are of interest in the analysis of applied problems of multiphase continuum media transfer along network-like 3D carriers.