Равномерные жесткие фреймы Мальцева

Abstract

Фрейм пространства $\mathbb{R}^d$ - это набор из $n\geq d$ векторов, линейная оболочка которых совпадает с $\mathbb{R}^d$. Фрейм называется равномерным, если все векторы фрейма имеют одинаковые нормы. Жесткий фрейм допускает представление произвольного вектора из $\mathbb{R}^d$ в форме, максимально похожей на представление в ортонормированном базисе. Каждый равномерный жесткий фрейм является ценным инструментом в создании эффективных вычислительных алгоритмов. Основой построения таких фреймов для $\mathbb{C}^d$ была матрица дискретного преобразования Фурье, в $\mathbb{R}^d$ первые построения равномерных жестких фреймов появились только в начале XXI в. В настоящей работе показано, что заметка А. И. Мальцева 1947 г. опередила время на десятилетия, оказалась пропущенной специалистами по теории фреймов, и именно А. И. Мальцева следует считать автором первой в мире конструкции равномерного жесткого фрейма в $\mathbb{R}^d$. Основная цель данной работы - показать историческую значимость открытия А. И. Мальцева. Упомянутая работа А. И. Мальцева рассмотрена с позиций современной теории фреймов конечномерных пространств. Для исследования важных с точки зрения теории фреймов свойств, таких как равенство модулей попарных скалярных произведений (равноугольность) и наличие полного спарка, т. е. линейная независимость каждого набора из $d$ векторов фрейма, привлекаются проекторы Наймарка и другие операторные методы. Библиография: 10 наименований.