Усреднение гиперболических уравнений: операторные оценки при учете корректоров

Abstract

В $L_2(\mathbb{R}^d)$ рассматривается эллиптический дифференциальный оператор второго порядка вида $A_\varepsilon=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x}/\varepsilon)b(\mathbf{D})$, $\varepsilon >0$, где $g(\mathbf{x})$ - положительно определенная и ограниченная матрица-функция, периодическая относительно некоторой решетки, а $b(\mathbf{D})$ - матричный дифференциальный оператор первого порядка. Получены аппроксимации при малом $\varepsilon$ оператор-функций $\cos(\tau A_\varepsilon^{1/2})$ и $A_\varepsilon^{-1/2}\sin(\tau A_\varepsilon^{1/2})$ в различных операторных нормах. Результаты применимы к изучению поведения решения задачи Коши для гиперболического уравнения $\partial^2_\tau \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)=-A_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)$.