Характеризации $\sigma$-разрешимых конечных групп

Abstract

Все рассматриваемые в данной статье группы конечны и $G$ всегда обозначает конечную группу; $\sigma$ - некоторое разбиение множества всех простых чисел $\mathbb{P}$, т.е. $\sigma=\{\sigma_{i} \mid i \in I\}$, где $\mathbb{P}=\bigcup_{i \in I} \sigma_{i}$ и $\sigma_{i} \cap \sigma_{j}=\varnothing$ для всех $i \ne j$. Группа $G$ называется: $\sigma$-примарной, если $G$ является $\sigma_{i}$-группой для некоторого $i=i(G)$; $\sigma$-разрешимой, если каждый главный фактор $G$ является $\sigma$-примарным. Множество подгрупп $\mathcal{H}$ группы $G$ называется полным холловым $\sigma$-множеством $G$, если каждый элемент $\ne 1$ множества $\mathcal{H}$ является холловой $\sigma_{i}$-подгруппой $G$ для некоторого $i$ и $\mathcal{H}$ содержит в точности одну холлову $\sigma_{i}$-подгруппу группы $G$ для всех $i$ таких, что $\sigma_{i}\cap \pi(G)\ne \varnothing$. Подгруппа $A$ группы $G$ называется $K$-$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальной в $G$, если $G$ содержит ряд подгрупп $A=A_{0} \leqslant A_{1} \leqslant\cdots\leqslant A_{t}=G$ такой, что либо $A_{i-1} \trianglelefteq A_{i}$, либо группа $A_{i}/(A_{i-1})_{A_{i}}$ $\sigma$-разрешима для всех $i=1,…,t$. Мы говорим, что подгруппа $A$ группы $G$ является слабо $K$-$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальной в $G$, если $G$ содержит $K$-$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальные подгруппы $S$ и $T$ такие, что $G=AT$ и $A \cap T \leqslant S \leqslant A$. В данной статье мы изучаем условия, при которых группа является $\sigma$-разрешимой. В частности, мы доказываем, что группа $G$ является $\sigma$-разрешимой тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих двух условий: (i) $G$ имеет полное холлово $\sigma$-множество $\mathcal H$, все элементы которого являются слабо $K$-$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальными в $G$; (ii) в каждой максимальной цепи подгрупп $\cdots < M_{3} < M_{2} < M_{1} < M_{0}=G$ группы $G$ по крайней мере одна из подгрупп $M_{3}$, $M_{2}$, или $M_{1}$ является слабо $K$-$\mathfrak{S}_{\sigma}$-субнормальной в $G$. Библиография: 32 названия.