Ресургентность и частичные тета-ряды

Abstract

Рассматриваются частичные тета-ряды, ассоциированные с периодическими последовательностями коэффициентов, вида $\Theta(\tau) := \sum_{n>0} n^\nu f(n) e^{i\pi n^2\tau/M}$, где $\nu\in\mathbb{Z}_{\ge0}$ и $f\colon\mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ есть $M$-периодическая функция. Такие ряды представляют аналитические функции в полуплоскости $\{\operatorname{Im}\tau>0\}$, и асимптотика функции $\Theta(\tau)$ при $\tau$, нетангенциально стремящемся к любой точке $\alpha\in\mathbb{Q}$, содержит формальный степенной ряд, зависящий от четности числа $\nu$ и функции $f$. Обсуждаются суммируемость и ресургентные свойства таких рядов. Выписаны явные формулы их формальных преобразований Бореля и выведены следствия относительно свойств модулярности функции $\Theta$, а также ее «квантовой модулярности» в смысле недавней теории Цагира. Неожиданной оказывается роль дискретного преобразования Фурье функции $f$, которое приводит к теоретико-числовому аналогу «уравнений-мостов» Экаля. Основной тезис таков: (квантовая) модулярность $=$ явление Стокса $+$ дискретное преобразование Фурье.