Производная функции Минковского: оптимальные оценки

Abstract

Хорошо известно, что производная функции Минковского $?(x)$, если существует, принимает только два значения: $0$ и $+\infty$. Известно также, что величина $?'(x)$ в точке $x=[0;a_1,a_2,…,a_t,…]$ связана с предельным поведением среднего арифметического $(a_1+a_2+…+a_t)/t$. В частности, как показали Н. Мощевитин и А. Душистова, если $a_1+a_2+…+a_t>(\kappa_2+\varepsilon) t$, где $\varepsilon>0$, a $\kappa_2\approx 4.4010487$ - некоторая точно задаваемая константа, то $?'(x)=0$. Также ими было показано, что величину $\kappa_2$ нельзя заменить ни на какую меньшую константу. Мы рассматриваем двойственную задачу: насколько мала может быть величина $\kappa_2 t-a_1+a_2+…+a_t$, если известно, что $?'(x)=0$? Мы получаем оптимальные оценки в этой задаче. Библиография: 9 названий.