Об интегрируемости уравнений динамики в непотенциальном силовом поле

Abstract

Рассматривается круг вопросов, связанных с точным интегрированием уравнений движения механических систем в непотенциальном силовом поле (часто называемых циркуляционными). Подход к интегрированию основан на теореме Эйлера-Якоби-Ли: если $n$ - число степеней свободы, то (с учeтом сохранения фазового объeма) для точного интегрирования необходимо иметь ещe $2n-2$ первых интегралов и полей симметрий, находящихся в некоторых естественных отношениях. Указаны случаи движения в непотенциальном поле, интегрируемые с помощью разделения переменных. Обсуждаются геометрические свойства систем с ненeтеровыми полями симметрий. Указаны примеры существования неприводимых полиномиальных интегралов третьей степени по импульсам. Рассмотрена задача об условиях существования однозначных полиномиальных интегралов циркуляционных систем с двумя степенями свободы и торическим пространством положений. Показано, что в типичном случае уравнения движения вообще не допускают непостоянных полиномиальных интегралов. Библиография: 32 названия.