Вложения групп автоморфизмов свободных групп в группы автоморфизмов аффинных алгебраических многообразий

Abstract

Для любого целого числа $n$ построена новая бесконечная серия рациональных аффинных алгебраических многообразий, группы автоморфизмов которых содержат группу $\mathrm {Aut}(F_n)$ автоморфизмов свободной группы $F_n$ ранга $n$ и группу кос $B_n$ c $n$ нитями. Группы автоморфизмов таких многообразий нелинейны при $n\geq 3$, а при $n\geq 2$ неаменабельны. В качестве приложения доказано, что каждая группа Кремоны ранга ${\geq } 3n-1$ содержит группы $\mathrm {Aut}(F_n)$ и $B_n$. Эта оценка на единицу лучше оценки, опубликованной автором ранее; в отношении $B_n$ она на порядок лучше оценки, вытекающей из работы Д. Краммера. Основой конструкции являются тройки $(G,R,n)$, где $G$ - связная полупростая алгебраическая группа, а $R$ - замкнутая подгруппа ее максимального тора.