О точных $L^p$-оценках преобразования Фурье поверхностных мер

Abstract

В данной работе мы рассмотрим оценки преобразования Фурье мер, сосредоточенных на гладких поверхностях $S\subset \mathbb{R}^3$, заданных графиком гладкой функции, имеющей простые особенности Арнольда, причем в некоторой точке обе главные кривизны поверхности обращаются в нуль. Доказано, что если кратность критической точки функции, графиком которой является поверхность, не превосходит $7$, то для любого $p>3$ преобразование Фурье соответствующих поверхностных мер принадлежит $L^{p}(\mathbb{R}^3)$. Заметим, что для любой гладкой поверхности преобразование Фурье нетривиальной поверхностной меры с компактным носителем не принадлежит $L^3(\mathbb{R}^3)$, т.е. полученная $L^p(\mathbb{R}^3)$-оценка точна. Более того, существует функция, имеющая особенность типа $E_8$ (кратность критической точки функции равна $8$), такая, что преобразование Фурье соответствующей поверхностной меры не принадлежит $L^{22/7}(\mathbb{R}^3)$, что показывает точность оценки для кратности критической точки. Библиография: 19 названий.