Влияние размеров классов сопряженности некоторых элементов на структуру конечной группы

Abstract

Пусть $G$ - конечная группа. Для каждого элемента $x\in G$ множество $\{x^g=g^{-1}xg: g\in G\}$ называется классом сопряженности элемента $x\in G$ и обозначается символом $x^G$. Размер класса сопряженности элемента $x\in G$ обозначается как $|x^G|$ или $|G:C_G(x)|$. Элемент $y$ группы $G$ называется примарным или бипримарным, если порядок элемента $y$ делится ровно на одно или два различных простых числа. Для положительного целого числа $n$ и простого числа $p$, если $e>0$ - целое число такое, что $p^e$ делит $n$, а $p^{e+1}$ не делит $n$, то $p^e$ называется $p$-частью числа $n$. Пусть $p$ - простой делитель для $|G|$ такой, что $(p-1,|G|)=1$. Доказано, что $G$ разрешимо и $p$-нильпотентно, если размеры сопряженности всех нецентральных примарных и бипримарных элементов в $G$ имеют одинаковую $p$-часть. С другой стороны, предположим, что $N$ является нормальной подгруппой групп $G$, и пишем $\operatorname{cs}_G(N)=\{|x^G|:x\in N\}$. Пусть $\operatorname{cs}_G(N)=\{1,n_1,n_2,…,n_t\}$, где $1<n_1<n_2<\cdots<n_t$. Через $$ M_N(G)=\langle x^G:x\in N, x^G=1 или n_1\rangle $$ обозначим подгруппу группы $G$. В работе доказано, что если $C_G(F(G))\leqslant F(G)$ и $[x,F(G)]$ является нормальным подмножеством в $F(G)$ при всех $x\in N$ с $|x^G|=1$ или $n_1$, то $M_N(G)$ является нильпотентной группой с классом нильпотентности не выше 2. Библиография: 17 названий.