Чисельне диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є

Abstract

Розроблено методологію чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку, яка дає можливість обчислювати похідні k-го порядку (k £ n) в будь-яких точках між довільно розташованими вузлами інтерполяції. Проаналізовано останні дослідження та публікації, що дало змогу встановити складність задачі обчислення похідних від функції за значеннями аргумента на деякому інтервалі значень табличної функції. Наведено постановку задачі чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку. Встановлено, що будь-яку таблично-задану функцію спочатку згладжують деякою функцією, котра є глобальним (локальним) інтерполяційним многочленом або многочленом, який отримано за МНК (англ. Ordinary Least Squares, OLS) з деякою похибкою. Під похідною від такої табличної функції розуміють похідну від її інтерполянти. Розроблено метод чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій, сутність якого зводиться до добутку вектора-рядка Фур'є n-го порядку на матрицю k-го порядку його диференціювання (k £ n) і на вектор-стовпець коефіцієнтів відповідної інтерполянти. Наведено деякі постановки задач чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку, відповідні алгоритми їх розв'язання та конкретні приклади реалізації. Встановлено, що для обчислення похідної k-го порядку від табличної функції за прийнятим значенням аргумента потрібно виконати такі дії: за даними таблиці сформувати матричне рівняння та розв'язати його; підставити у відповідний матричний вираз отриманий корінь з матричного рівняння та значення аргумента і виконати вказані у виразі дії множення матриць. Здійснено перевірку правильності виконання розрахунків з використанням відповідних центральних різницевих формул. Встановлено, що обчислені похідні k-го порядку з використанням формул центральних скінченних різниць практично  збігаються зі значеннями, отриманими за допомогою інтерполяційного многочлена Фур'є n-го порядку, тобто значення похідних обчислено правильно.