1. Vgl Pasch, Vorlesungen �ber neuere Geometrie, 1. Aufl. 1882, 2. Aufl. bei Springer 1926. Vgl. insbes. � 1.
2. Nicht nur die Definition vongestaltlichen Eigenschaften (vgl. meinen Bericht �ber die Dimensionstheorie, Jahresbericht d. deutsch. Mathem. Ver.35, insbes. S. 119), sondern auch die Definition derelementarsten Beziehungen, welche, wie z. B. die Zwischenbeziehung, dadurch definiert werden, da� sie gewissen Beziehungen noch einfacherer Natur gen�gen, ? auch diese Definitionen sind einin gewissen Ma�e willk�rliches Umgrenzen der zu definierenden Beziehung gegen�ber anderen, welches nur durchAngleichung an den nat�rlichen Sprachgebrauch und gewisseZweckm��igkeitsgr�nde bestimmt wird, und demnach nicht nur formal, sondern auch inhaltlichin verschiedener Weise erfolgen kann. Beispielsweise weicht unser Zwischenbegriff vom elementargeometrischen etwas ab (siehe unten). Wo es sich darum handelt, die beiden auseinanderzuhalten, w�re etwa unser ?zwischen? als ?metrisch zwischen? zu bezeichnen.
3. Trans. Am. Math. Soc.18 (1917), S. 301.
4. Unser (vom elementargeometsischen abweichende) Zwischenbegriff ist, wie noch erw�hnt werden m�ge, auch einer Anwendung auf die Erfahrungswelt f�hig. Betrachten wir etwa das Netz der europ�ischen Schnellzugslinien. Es entspricht der Ausdrucksweise von Reisenden, alsAbstand zweier St�dte die (etwa in Stunden gemessene) Dauer der schnellsten Fahrt zwischen den beiden Orten zu bezeichnen. Sehen wir dann ab von den praktisch meist zu vernachl�ssigenden Unterschieden zwischen der Fahrtdauer vonA nachB und der Fahrtdauer vonB nachA, so bilden verm�ge dieser Abstandsdefinition die Stationen offenbar einen die Dreiecksungleichung erf�llenden metrischen Raum. Es entspricht wieder einer gebr�uchlichen Ausdrucksweise, von der StadtB zu sagen, sie liegezwischen den St�dtenA undC, wenn man vonA ohne Umweg viaB nachC gelangen kann, d. i. aber, pr�zis gesprochen, wenn f�r die Abst�ndeAB+BC=AC gilt. Es liegt dann beispielsweise zwischen Wien und Amsterdam sowohl Frankfurt a. M. als auch Leipzig, obwohl Frankfurt weder zwischen Wien und Leipzig noch zwischen Leipzig und Amsterdam und obwohl Leipzig weder zwischen Wien und Frankfurt noch zwischen Frankfurt und Amsterdam liegt. Und es liegt Erfurt zwischen Frankfurt a. M. und Leipzig, also zwischen zwei St�dten, die zwischen Wien und Amsterdam liegen, ohne selbst zwischen Wien und Amsterdam zu liegen, weil eine schnelle Verbindung von Amsterdam und Wien via Erfurt nicht existiert.
5. Durch die angegebene Konvexit�tsdefinition wird (vgl. Einleitung S. 76) scheinbar zum erstenmal eine spezifisch metrische gestaltliche Eigenschaft metrischer R�ume erfa�t.