1. Depuis que ce travail a été rédigé,M. E. Lukacs a attiré mon attention sur un beau théorème deM. Krein, publié dès 1940 dans les Comptes rendus de l' Académie des Sciences de l'U.R.S.S., N. s. 26, p. 17–22. Dans le mème volume (p. 860–865),D. Raikov a donné une nouvelle démonstration de ce théorème, dont voici l'énoncé: Une fonction ψ0(z) étant donnée, hermitienne et continue, dans (−A, +A), pour qu'il existe une fonction ψ(z) de la classeC égale à ψ0(z) dans cet intervalle, il faut et il suffit que, quelle que soit la fonctions τ(z) réelle, monotone et bornée dans (0, +A), on ait
$$J\left( A \right) = \int\limits_0^A {\int\limits_0^A {\varphi _0 } \left( {z - z'} \right)d\tau \left( z \right)} d\tau \left( {z'} \right) \geqslant 0.$$
De plus la conditionJ(A)>0 [sauf si τ(z) est constant], jointe à une autre condition moins simple, est nécessaire et suffisante pour que le prolongement de ψ0(z) soit indétérminé. PourA infini, on retrouve le célèbre théorème deS. Bochner. Ce n'est pas réduire l'importance de ces théorèmes que d'observer qu'ils ne font que ramener le problème posé à un autre, et cela dans le cas oùE=(−A, +A). Ils ne le résolvent pas, et la question posée dans la texte reste entière. Rien ne prouve d'ailleurs qu'il puisse y avoir une condition explicite, analogue à celle rappelée plus haut pourA infini, qui résolve pratiquement le problème. Le théorème deKrein suggère une généralisation, obtenue en remplaçant (0,A) par n'importe quel ensemble formée ⊂ (0, ∞). Siz etz′ décrivent indépendammentē, z-z' décrit un ensemble ferméĒ;J(A) est remplacée par une intégraleJ(A, e), et la condition pour que ψ(z), donné dansĒ, soit prolongeable dans (−∞, +∞), seraitJ(A, e)≥0. Cette condition est manifestement nécessaire; cela résulte du théorème deBochner appliqué aux fonctionsτ(z) qui ne varient que danse. Il nous semble probable qu'elle est aussi suffisante. Mais bien entendu on ne peut obtenir ainsi qu'un énoncé applicable siĒ est la somme directe d'un ensembleē et de son symétrique par rapport à l'origine. Un tel ensemble est nécessairement son propre symétrique par rapport à l'origine; mais cette symétrie est sans importance dans le problème considéré, puisque, si la fonction hermitienneψ(z) est connue dans un ensemble quelconqueE, elle l'est dansĒ, dans l'ensembleĒ′ symétrique deĒ et par suite dans la réunion deĒ etĒ.
2. P. Lévy,Esquisse d'une théorie de la multiplication des variables alétoires « Ann. Ec. norm. sup. », 76 (1959), p. 59–82.
3. Depuis que ce travail a été écritM. M. D. Dugué etE. Lukacs ont attiré mon attention sur un travail deT. Kawata,On the Division of a Probability law, « Proc. Imp. Acad. Tokyo », XVI (1940), p. 249–254. Je m'excuse de ne pas l'avoir cité plus haut. Cet auteur part de la remarque, qui a été aussi utilisée ci-dessus, que le phénomène deKhintchine n'est possible que si, dans (0, ∞),p(z) est identiquement nul au moins dans un intervalle. Appliquant alors des résultats d'un travail antérieur, il énonce deux théorèmes (1 et 2) donnant des conditions qui, vérifiées par la fonction de répartitionH(x) associée àp(z), suffisent pour exclure le phénomène deKhintchine. Il dómontre ensuite que ces théorèmes sont les meilleurs possibles. Pour le théorème 2, cela résulte d'un exemple très simple, où intervient un cas particulier de la fonction (24) du présent travail. Il me semble d'ailleurs qu'il y a une lacune dans l'énoncé de son théorème 2. Les nombres négatifsa
n qu'il considère doivent former une suite décroissante, au moins pourn assez grand. La condition lim |a
n−an+1|=∞ devient alors lim (a
n−an+1)=∞. En effet n'importe quelle suite pour laquelle lima
n=−∞ peut être rangée dans un ordre tel que lim |a
n −an+1|=∞. Or la condition lima
n=−∞ ne suffit manifestement pas dans l'énoncé du théorème.